Родился 17 октября 1935 года в селе Крюково Пензенской области в большой крестьянской семье. Умер 14 декабря 2013 года.
В 1953 году успешно закончил среднюю школу села Лермонтово Пензенской области и поступил на лечебный факультет Государственного медицинского института Г. Куйбышева.
После окончания медицинского института (в 1959 году) работал в г. Аны-Курган. В 1960 году переехал в город Чапаевск, где работал врачом –хирургом, затем заведующим отделением.
За свой труд в 1973 году Лескин Анатолий Степанович награжден значком «Отличник здравоохранения».
С 1977 года и по настоящее время врач-хирург Лескин трудится в городе Тольятти сначала в должности заместителя главного врача по хирургии, а с 1991 года по настоящее время является главным специалистом по хирургии.
Под руководством Анатолия Степановича в городе Тольятти в 1984 году создана хирургическая больница, которая на сегодняшний день признанно считается одним из ведущих хирургических центров Самарской области и России.
В 1987 году ему присвоено звание «Заслуженный врач РСФСР».
С 1989 года Анатолий Степанович Лескин является Лауреатом Государственной премии СССР за выдающиеся достижения в труде и научно-техническом творчестве.
Постановление Тольяттинской городской Думы от 14 мая 2003 года № 744 Лескину А.С. было присвоено звание "Почетный гражданин города Тольятти" за особые заслуги перед сообществом и большой вклад в развитие здравоохранения г.Тольятти.